Siguiendo varios enlaces, el primero de los cuales estaba en Microsiervos, llegé a un interesante artículo de la Wikipedia sobre la Paradoja de Russell. Y como me encantan las paradojas, pues le voy a dedicar una entrada a esta.
La paradoja de Russell, descrita por Bertrand Russell en 1901, viene a demuestrar que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
Un conjunto viene a ser una reunión de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc... y en este sentido se denominan conjuntos normales. La característica principal de un conjunto normal es que no se contienen a sí mismos.
Sin embargo también existen conjuntos de conjuntos, como 2M, que es el conjunto de subconjuntos de M. Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo de tal modo que se contenga a sí mismo. Por ejemplo si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.
Entonces, está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio. O se contiene a sí mismo o no se contiene.
Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular? Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no está en C entonces es normal. Cualquier alternativa nos produce una contradicción, y esta es la paradoja.
Simplemente fascinante.
La paradoja de Russell, descrita por Bertrand Russell en 1901, viene a demuestrar que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.
Un conjunto viene a ser una reunión de cosas, por ejemplo de coches, libros, personas, etc... y en este sentido se denominan conjuntos normales. La característica principal de un conjunto normal es que no se contienen a sí mismos.
Sin embargo también existen conjuntos de conjuntos, como 2M, que es el conjunto de subconjuntos de M. Un conjunto de conjuntos es normal salvo si podemos hacerlo de tal modo que se contenga a sí mismo. Por ejemplo si tenemos el conjunto de todas las cosas que NO son libros y como un conjunto no es un libro, el conjunto de todas las cosas que NO son libros formará parte del conjunto de todas las cosas que NO son libros. Estos conjuntos que se contienen a sí mismos se llaman conjuntos singulares.
Entonces, está claro que un conjunto dado o bien es normal o bien es singular, no hay término medio. O se contiene a sí mismo o no se contiene.
Ahora tomemos el conjunto C como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿Qué clase de conjunto es C? ¿Normal o Singular? Si es normal, estará dentro del conjunto de conjuntos normales, que es C luego ya no puede ser normal. Si es singular, no puede estar dentro del conjunto de conjuntos normales, luego no puede estar en C, pero si no está en C entonces es normal. Cualquier alternativa nos produce una contradicción, y esta es la paradoja.
Simplemente fascinante.
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1 comentario:
Que bien!! Soy el primero en comentar.
La verdad es que es una paradoja interesante, aunque hasta que no la leí entera me parecía una chorrada.
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